1. Czym jest Logika Rozmyta (Fuzzy-Logic)? 

2. Zastosowanie logiki rozmytej (Fuzzy-Logic)

  Logika rozmyta jest stosowana wszędzie tam, gdzie użycie klasycznej logiki stwarza problem ze względu na trudność w zapisie matematycznym procesu lub gdy wyliczenie lub pobranie zmiennych potrzebnych do rozwiązania problemu jest niemożliwe. Ma szerokie zastosowanie w różnego rodzaju sterownikach. Sterowniki te mogą pracować w urządzeniach tak pospolitych jak lodówki czy pralki, jak również mogą być wykorzystywane do bardziej złożonych zagadnień jak przetwarzanie obrazu, rozwiązywanie problemu korków ulicznych czy unikanie kolizji. Sterowniki wykorzystujące logikę rozmytą są również używane na przykład w połączeniu z sieciami neuronowymi.

3. Podstawy matematyczne.

3.1. Zbiory rozmyte.

Aby przybliżyć ideę zbiorów rozmytych posłużę się porównaniem ich do klasycznych zbiorów.

Dla zilustrowania tego przykładu weźmy zbiór mieszkańców pewnego miasta. Podzbiorem będą osoby posiadające samochód. Osoby należące do tego zbioru możemy również przedstawić za pomocą argumentów składających się dwóch wartości [2]. Pierwszą z nich jest wartość odpowiadająca osobie, natomiast drugą jest liczba 1 lub 0, w zależności czy dana osoba posiada samochód czy też nie. Mając w ten sposób oznaczone elementy zbioru, aby stwierdzić, czy są częścią naszego podzbioru wystarczy odszukać te, które na drugiej pozycji mają jedynkę. Zbiór taki może mieć następujące elementy:

Miasto1 = { Marek,1; Ania,0; Piotr,0; Maja,1 }

Dzięki takiemu zapisowi wiemy, że osobami posiadającymi samochód i należącymi do naszego podzbioru są Marek i Maja.

Podzbiór rozmyty Z zbioru Y tak samo może być reprezentowany przez dwuargumentowy zestaw wartości, w których pierwszy element odpowiada wartości zbioru Y, a drugi przyjmuje wartości ze zbioru [0;1]. Podobnie jak w zwykłym zbiorze drugi element określa przynależność do podzbioru Z, z tą różnicą, że oprócz ‘całkowitej’ przynależności do niego (dla 1) i ‘całkowitym’ brakiem tej przynależności (dla 0), posiadamy informacje o tzw. „stopniu przynależności” do podzbioru Z (określoną wartościami z przedziału 0-1). Stopień Przynależności stanowi dla nas informację, jak daleko element y jest oddalony od naszego podzbioru Z. Określamy go dzięki Funkcji Przynależności.

W celu zrozumienia tego zagadnienia posłużę się przykładem. Niech naszym zbiorem Y będą osoby, a zbiorem rozmytym Z – osoby wysokie. Zbiór Z będzie nam mówił, w jakim stopniu dana osoba ze zbioru Y przynależy do zbioru osób wysokich. W tym celu musimy ułożyć funkcję przynależności dla naszego zbioru rozmytego bazującą na wzroście.

Np.:

Z(y) = ( 0                          à     wzrost < 170 cm

              [Z(y) – 170]/20   à     170 cm > wzrost < 190 cm

              1                          à     wzrost > 190 cm                   )

Dzięki zastosowanej funkcji przynależności uzyskujemy następujące dane:

Należy pamiętać, że funkcja przynależności może mieć bardziej złożony kształt, niż ten, z przykładu [1]. W zdecydowanej większości przypadków jako funkcje przynależności stosuje się trójkąty, ale mogą to być też trapezy lub parabole.

3.2. Operacje na zbiorach rozmytych

Podstawowymi operacjami na zbiorach rozmytych są [1]:

–       negacja (NOT)

–       suma (OR)

–       iloczyn (AND)

W przypadku sumy i iloczynu logicznego mamy parę możliwości uzyskania wyników. Do obliczania ich zaproponowanych zostało kilka wzorów matematycznych, różnych dla każdej z tych operacji. Dla sumy logicznej zbiorów rozmytych są to tak zwane operatory s-normy, a dla iloczynu logicznego zbiorów rozmytych są to tak zwane operatory t-normy. Podstawowe wzory tych norm są przedstawione w tabelach tab1 i tab2. Negacja zbiorów rozmytych natomiast jest bardzo zbliżona do  negacji zwykłych zbiorów. W odróżnieniu od powyższych operacji istnieje tylko jeden sposób otrzymywania wyniku.. Aby go obliczyć wystarczy odjąć stopień przynależności danego elementu od jedności.

Tab. 1. Podstawowe operatory t-normy [2].

Tab. 2.3.2/2. Podstawowe operatory s-normy [2].

Poniżej znajdują się graficzne ilustracje obliczeń sumy i iloczynu logicznego. Za przykład posłużą nam dwa zbiory przedstawione na poniższym rysunku.

Wyniki obliczeń sumy logicznej prezentują się następująco:

Wyniki obliczeń iloczynu logicznego prezentują się następująco:

Najprostszymi a co za tym idzie  najczęściej stosowanymi operatorami są, dla  t-normy MIN, a s-normy MAX.. W dalszej części tej pracy będą stosowane właśnie te operatory, chyba że będzie napisane inaczej.

Poniżej przedstawione są liczbowe przykłady powyższych operacji logicznych.

NEGACJA:

Jeżeli mamy dany podzbiór rozmyty A zbioru Y, to jego negacją jest podzbiór Ā=Y-A. Czyli dla każdego y należącego do A mamy Ā(y)=1-A(y)

Przykład:

      SUMA:

Jeżeli mamy dane podzbiory rozmyte A i B zbioru Y, to ich sumą jest podzbiór C=AorB. Czyli dla każdego y należącego do Y mamy C(y)=Max[A(y), B(y)]

Przykład:

        ILOCZYN:

Jeżeli mamy dane podzbiory rozmyte A i B zbioru Y, to ich iloczynem jest podzbiór C=AandB. Czyli dla każdego y należącego do Y mamy C(y)=Min[A(y), B(y)]

Przykład:

Oprócz przykładów liczbowych operacje powyższe przedstawię także na podstawie wykresów. Załóżmy, że mamy zbiór osób. Na tym zbiorze mamy trzy podzbiory rozmyte odpowiadające za wzrost.

Na początek załóżmy, że chcemy otrzymać zbiór osób nie średnich. W tym celu posłużymy się operacją logiczną NIE. Wynik reprezentuje poniższy wykres.

Następnie chcemy otrzymać zbiór osób niskich lub średnich. W tym celu posłużę się operacją logiczną LUB, która w tym przypadku będzie reprezentowana przez operator s-normy MAX. Wynikiem tego działania jest poniższy wykres.

Na koniec chcemy otrzymać zbiór osób zarówno średnich jaki i wysokich. W tym celu użyję operacji logicznej I. Będzie ona reprezentowana przez operator t-normy MIN. Wynik przedstawiony jest na poniższym wykresie.

W przypadku gdy mamy do czynienia z dwoma różnymi zmiennymi operacje logiczne wykonywane są tak samo jak powyżej.

Pokażę to na poniższym przykładzie. Wyniki zostaną zamieszczone w tabeli, jak również zaprezentowane w postaci wykresów. Załóżmy, że mamy dwa różne zbiory osób. Pierwszy dzieli  nam je ze względu na wzrost a drugi na wiek.. Dla zapewnienia większej przejrzystości przykładu, przedstawiono tylko po jednym zbiorze rozmytym dla każdej zmiennej. Dla zmiennej wzrost będzie to zbiór Z osób wysokich. Dla zmiennej wiek będzie to zbiór V osób starych. Oba te zbiory są opisane poniższymi funkcjami przynależności.

Utwórzmy następujące zbiory rozmyte:

-         zbiór ludzi wysokich lub starych

A = Z LUB V

-         zbiór ludzi wysokich i starych

B = Z I V

Graficzne prezentacja operacji (osoby_stare)LUB(osoby_wysokie):

Graficzne prezentacja operacji (osoby_stare)I(osoby_wysokie):

  do góry